Toán lớp 10. Video bài giảng: Giá trị lượng giác của một cung - Luyện Thi 123 giúp bạn học giỏi toán hơn.

Toán lớp 10

Bài 23: Giá trị lượng giác của một cung

Các nội dung chính trong bài học này (Bấm để nhảy đến nội dung cần xem)

Giá trị lượng giác của cung α

Ý nghĩa hình học của tan và cotan

Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

Tóm tắt bài học

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α

1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung \(\widehat{AM}\) có sđ \(\widehat{AM}\) = α (còn viết \(\widehat{AM}\) = α). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M(x;y)⇒x = \(\overline{OH}\); y=\(\overline{OK}\) .

Định nghĩa

Tung độ y của M là sin của góc α: sin⁡α ⇒ sin⁡α = y = \(\overline{OK}\)
Hoành độ x của M là cosin của góc α: cos⁡α⇒cos⁡α=x= \(\overline{OH}\)

Với cos⁡α ≠ 0, tỉ số\(\frac{ sin⁡α}{cos⁡α}\) gọi là tang của góc α: tan⁡α ⇒ tan⁡α = \(\frac{sin⁡α}{cos⁡α}\)

Với sin⁡α ≠ 0, tỉ số \(\frac{cos⁡α}{sin⁡α}\) gọi là cotang của góc α: cot⁡α ⇒ cot⁡α = \(\frac{cos⁡α}{sin⁡α}\)

- sin⁡α,cos⁡α,tan⁡α,cot⁡α gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

2. Hệ quả

a. sin⁡α, cos⁡α xác định với ∀α ∈ R, ta có:

sin⁡(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z

cos⁡(α + k2π)=cosα, ∀k ∈ Z

b. Vì -1 ≤ \(\overline{OK}\) ≤ 1 ;-1 ≤ \(\overline{OH}\) ≤ 1 nên ta có:

-1 ≤ sin⁡α ≤1

-1 ≤ cos⁡α ≤1

c. Với ∀m ∈ R mà -1 ≤ m ≤1 đều tồn tại α và β sao cho

sin⁡α =m và cos⁡β = m

d. tan⁡α xác định với ∀α ≠ \(\frac{π}{2}\) + kπ (k ∈ Z)

cot⁡α xác định với ∀α ≠ kπ (k ∈ Z)

e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng \(\widehat{AM}\) = α trên đường tròn lượng giác

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA tan và cotan

1. Ý nghĩa hình học của tang

Kẻ tiếp tuyến t'At với đường tròn lượng giác tại A.

Gọi T=OM ∩ t'At. Khi đó tan⁡α =\(\overline{AT}\).

Trục t'At gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của cotang

Kẻ tiếp tuyến s'Bs của đường tròn lượng giác tại B.

Gọi S=OM ∩ s'Bs. Khi đó cot⁡α= \(\overline{BS}\).

Chú ý : tan⁡(α+kπ)=tanα (k ∈ Z)

cot⁡(α + kπ) = cotα (k ∈ Z)

III. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

1. tan⁡α = \(\frac{sin⁡α}{cos⁡α}\) (α ≠ \(\frac{π}{2}\) + kπ, k ∈ Z)

2. cot⁡α = \(\frac{cos⁡α}{sin⁡α}\) (α ≠ kπ,k ∈ Z)

3. \(sin^2\)⁡α + \(cos^2\)⁡α = 1

4. 1 + \(tan^2\)⁡α = \(\frac{1}{cos^2⁡α}\) (α ≠ \(\frac{π}{2}\) + kπ,k ∈ Z)

5. 1 + \(cot^2⁡\)α = \(\frac{1}{sin^2⁡α} \) (α ≠ kπ,k ∈ Z)

6. tan⁡α.cot⁡α = 1 (α ≠ \(k\frac{π}{2}\))

7. cot⁡α = \(\frac{1}{tan⁡α}\) (α≠ \(k\frac{π}{2}\))

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a. Cung đối nhau (α và -α)

sin⁡(-α)=-sin⁡α tan⁡(-α)=-tan⁡α

cos⁡(-α)=cos⁡α cot⁡(-α)=-cot⁡α

b. Cung bù nhau (α và π- α)

sin⁡(π - a)=sin⁡α tan⁡(π-α)=-tan⁡α

cos⁡(π - α)=-cos⁡α cot⁡(π-α)=-cot⁡α

c. Cung hơn kém π (α và π + α)

sin⁡(π + α)=-sin⁡α tan⁡(π+π)=tan⁡α

cos⁡(π + α)=-cos⁡α cot⁡(π+α)=cot⁡α

d. Cung phụ nhau (α và \(\frac{π}{2}\)- α)

sin⁡(\(\frac{π}{2}\) - α)=cos⁡α tan⁡(\(\frac{π}{2}\) - α) = cot⁡α

cos⁡(\(\frac{π}{2}\) - α)=sin⁡α cot⁡(\(\frac{π}{2}\)- α) = tan⁡α

Bài luyện tập chuyên sâu (Luyện tập với các cấp độ từ dễ đến khó của dạng bài này)

Xem bình luận